El problema del cumpleaños

En mi lista de amigos de facebook tengo 162 amigos de los cuales 4 cumplen años el próximo miércoles, pasado mañana. ¿Sorprendente? Aunque puede parecerlo a simple vista, un argumento probabilístico muy simple mostrará que no lo es tanto. Vamos a responder la siguiente pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo día en un grupo de n personas si cada persona tiene la misma probabilidad de cumplir en cualquier día del año (1/365)?

Sea la probabilidad de que en un grupo de n personas, no haya dos que cumplan el mismo día. Entonces la primera persona puede cumplir en cualquiera de los 365 días del año (365/365). La segunda persona puede cumplir en cualquier día, excepto el día en que cumplió la primera persona . El tercero puede cumplir cualquier día del año, excepto en los dos días en que cumplieron las dos primeras . Y así sucesivamente hasta el n-ésimo que puede cumplir en cualquier día excepto en los n-1 días en los que ya han cumplido las otras personas: . Es decir,

Si definimos , entonces podemos entender ese n! como la cantidad de permutaciones de n elementos. O sea, la cantidad de formas diferentes en que se pueden organizar n elementos. Entonces . Y note además que

.

Con esas consideraciones, podemos reescribir como sigue:

.

Esa es la probabilidad que estábamos buscando.

Pero el caso curioso no está ahí. La razón por la cual el resultado es interesante es la siguiente: suponga que n=23. Entonces obtenemos que la probabilidad de que al menos dos personas, entre esas 23, cumplan el mismo día es:

.

Es decir, la probabilidad de que en un grupo de 23 personas al menos dos cumplan el mismo día es mayor que la probabilidad de obtener cara en un lanzamiento de una moneda honesta.