Probabilidad y ciencia

Mudanza

2008-10-24T09:12:00.002-05:00

Últimamente el editor de latex para blogger no ha funcionado y por ello me vi obligado a mover el blog. Decidí pasarlo a la siguiente dirección: www.estocasticos.wordpress.com.

Una de las razones por las cuales inicié este blog fue porque descubrí la manera de adicionar fórmulas con latex haciendo una pequeña peripecia. Ello me permitió seguir escribiendo entradas con un poco de contenido matemático interesante. Pero eso cambió y, como decía antes, de un tiempo para acá ya no pude adicionar fórmulas... cosa que es necesaria en un blog de este tipo, así reduzca a la mitad el número de lectores. Esa es la razón del cambio porque en lo demás estaba yo feliz con mi blog de probabilidad en blogger.

A quienes me tuvieran en su feed de noticias (Reader o algún otro) los invito tan solo a que modifiquen la dirección de Internet y pongan la nueva. Para mí que poco sé quién lee estas cosas (los mapas solo me dan ubicaciones), será un gusto seguir contando con todos los lectores que este blog ha venido haciendo a lo largo de este año.

El otro blog mío, Por toda América, seguirá tal cual está en du dirección normal de blogger: www.portodaamerica.blogspot.com.

Los espero en la nueva dirección

Ciencia-matemáticas, epistemología-ontología

2008-10-07T12:22:00.006-05:00

Recuerdo que en mi anterior blog hice un entrada relacionada con las diferencias y las fuertes discusiones entre físicos y matemáticos. Los físicos nos acusan de ser extremadamente complicados y los matemáticos los acusamos a ellos de ser absolutamente relajados. Esas diferencias siempre van a existir y tenemos que aprender a convivir con ellas. Nada que hacer. Las ideas surgieron luego de leer la introducción del libro sobre grafos aleatorios de Richard Durrett, Random Graph Dynamics (CUP, 2006).

Por aquellos días también estaba leyendo algunos artículos en filosofía de la ciencia relacionados con el problema de demarcación: la falta de criterios para decidir si algo encaja dentro de la categoría de ciencia o no. Larry Laudan fue probablemente el filósofo de la ciencia que mayor énfasis hizo en el problema. Sin ser creacionista fue un muy fuerte crítico de Michael Ruse, filósofo de la ciencia y defensor del evolucionismo darwinista, por los argumentos del segundo en el histórico juicio de Arkansas de los 80 contra el creacionismo. Laudan criticaba que Ruse usó argumentos de demarcación a sabiendas de que ellos eran falsos. Por ejemplo, solía decirse que lo científico era lo observable o lo repetible, pero muchas cosas que hoy conocemos como ciencia no son ni una cosa ni la otra. Eso ocurre con cada una de las posibles demarcaciones y siempre se tiene uno de dos problemas: o el criterio restringe demasiado la labor científica o se vuelve permisivo y empieza a involucrar cosas que no se quieren ahí dentro.

También en aquella época terminé leyendo La estructura de las revoluciones científicas de Thomas Kuhn (FCE, 2005) y ahí fue la acabose. Palabras más, palabras menos, Kuhn muestra mediante un análisis histórico que la ciencia se define de acuerdo al paradigma de moda y que los cambios de paradigma se producen por rompimiento generacional, no por demostraciones hechas que confirmen el cambio de paradigma. Es decir, visto así, el asunto es completamente subjetivo.

La consideración de esas tres cosas me llevó a una conclusión que considero importante (no pretendo ser el primero en haber razonado de esta manera, seguramente muchos ya lo han considerado antes y más formalmente). Dadas las distintas naturalezas del quehacer matemático y científico, somos llevados a una dualidad epistemológica-ontológica:

La matemática por su forma de proceder y con su lógica nos proporciona certezas epistemológicas sobre conceptos (no quiero usar la palabra entidades) si no inexistentes al menos de cuestionable ontología. Esto porque los conceptos matemáticos son abstracciones, como todo el mundo sabe. Y aún si se logran traducir a conceptos de ontología menos cuestionable, puede ser que esa certeza epistemológica del abstracto se transforme en un tremendo error ontológico. Para hacer clara la idea anterior permítame explicarlo con un ejemplo real: el cosmólogo Stephen Hawking adelantó estudios en los 90 con el fin de acabar con la idea del Big Bang, pretendía hacerlo innecesario (tal vez en otra entrada me refiera a las motivaciones de los científicos y su papel en la ciencia); toda la matemática en su razonamiento funcionó perfectamente en el terreno de los números complejos, no había error en ella, y así Hawking cumplía su cometido; el problema era cuando se aterrizaba la matemática a la realidad física, cuando los números complejos se volvían a los reales, en tal caso se retornaba al mismo universo finito del Big Bang. Otro caso similar sucedo con la llamada cosmología del plasma, cuya motivación también era acabar con el Big Bang, en ella todo funcionaba matemáticamente bien pero debía suponerse el no cumplimiento de las leyes de la termodinámica (¡!).

Por el otro lado están las ciencias, en ellas el caso es completamente opuesto: nunca vamos a tener certeza epistemológica de conceptos con ontología clara o al menos no tan dudosa. La disminución en la certeza epistemológica es producto de la naturaleza inferencial o inductiva de las ciencias experimentales (en el mejor de los casos), diferente a la deductiva de las matemáticas. El incremento en la certeza ontológica se da porque usualmente trata realidades físicas y químicas difícilmente cuestionables. Siguiendo con el Big Bang, sabemos que nuestro universo es real pero, como también se vio en el párrafo anterior, sabemos que la matemática es insuficiente (y su método puede ser demasiado restrictivo); los modelos hechos deben tener coherencia matemática, pero deben ir más allá de ella y no violar cosas tan claras en su aterrizaje a la realidad como las leyes de la termodinámica. Ahora, estoy siendo demasiado benévolo pues en este caso el modelo sobre el origen del universo es matematizable. Pero, ¿qué pasa en otras situaciones donde lo único que se tiene es la repetición del evento y a lo máximo que se llega es a una posible inferencia estadística, digamos, de una diferencia de medias? He ahí donde mi punto de la certeza epistemológica cobra más fuerza: las conclusiones a las que se llega por inferencia o inducción en el mundo real son mucho más débiles que las alcanzadas por deducción (en negrilla porque no dudo de la fortaleza de la inducción en matemáticas)... los matemáticos no tenemos el problema de que los teoremas sean más o menos ciertos con condiciones como la temperatura.

Hay pues una dualidad en este sentido entre ciencia-matemática y epistemología-ontología. Las matemáticas proporcionan un nivel de certeza epistemológica que no proporciona ninguna otra herramienta pero se queda ontológicamente corta en cuanto a la realidad física. La ciencia, que abarca la realidad física, se queda corta en la ceteza epistemológica... a tal punto que su interpretación de dicha realidad depende, como mostró Kuhn, del paradigma de moda. Me queda un mal sabor.

Orden del Mérito Científico para el profesor Luiz Renato Fontes

2008-09-23T10:20:00.003-05:00

El gobierno federal de Brasil suele condecorar con altas distinciones a sus mejores científicos. La distinción es llamada Ordem Nacional do Mérito Científico.

En el grupo de probabilidad del Instituto de Matemáticas y Estadística de La Universidad de São Paulo ya había recibido dicha distinción el profesor Antonio Galves, una de las insignias de la probabilidad en Brasil. La noticia ahora es que, del mismo grupo de probabilidad, la Orden la recibe ahora el profesor Luiz Renato Gonçalvez Fontes como comendador (no conseguí una foto suya en la red). Fontes es una de las grandes mentes de la probabilidad en Brasil. Tan solo hoy, en la sección de probabilidad de arxiv.com, aparecieron publicados dos papers que desarrolló junto a dos ex-estudiantes suyos de maestría (Paulo Lima y Erasmo Dias, dos grandes amigos personales míos, además) y un ex-estudiante de postdoctorado (Christian Colletti).

Será interesante, más adelante en este blog, hacer una entrada sobre algunas contribuciones del profesor Fontes a la probabilidad. Por ahora sólo quiero añadir que, además de su gran capacidad matemática, siempre tengo muy presente que fue él quien me dio la feliz noticia de mi admisión al postgrado en la Universidad de São Paulo.

Parabéns Luiz Renato!

Oded Schramm

2008-09-03T17:55:00.002-05:00

Con gran pesar hago esta entrada, pues hoy me enteré que Oded Schramm, uno de los más grandes probabilistas de nuestros días, falleció por un accidente en una caminata. Supe la noticia gracias a un correo de Yuval Peres reenviado esta mañana a todos los estudiantes del IME. Peres y Schramm eran muy amigos pues además de grandes probabilistas, los dos estudiaron en la Universidad Hebrea (Jerusalén).

Para tener idea de la estatura de Schramm permítame utilizar las palabras del mismo Peres, quien es de los más grandes, en el mensaje por su fallecimimiento:

Oded era una figura grandísima, un matemático extraordinario, considerado ampliamente como el probabilista más influyente del mundo. Su obra revolucionaria transformó completamente nuestra comprensión de procesos críticos en dos dimensiones, enlazando la teoría de probabilidad con el análisis y la topología como nunca antes [Énfasis agregado, traducción mía].

Schramm ganó todos los premios posibles: el Premio Erdõs, el Premio Salem, el Premio de Investigación de Clay, el Premio Henrí Poincaré, el Premio Loève, el Premio Polya, el Premio Ostrowski y fue electo para la Academia Sueca de Ciencias.

Es más, Wendelin Werner, uno de los últimos ganadores de la Medalla Fields, el más importante galardón en el mundo matemático, ganó el premio por su trabajo conjunto con Schramm y con Greg Lawler. Ellos dos no lo obtuvieron por no ser menores de 40 años, requisito sine qua non para obtener el premio. Pero las ideas de Schramm fueron las que dieron origen a todo el trabajo conjunto de los tres probabilistas. Therence Tao, ganador también en el 2006 de la Medalla Fields con Werner, en la última entrada de su blog hace un pequeño homenaje a Schramm explicando su teoría.

Paz en su tumba.

Concentración de riqueza en América Latina

2008-09-02T07:43:00.005-05:00

[Hace unos días escribí esta entrada en mi otro blog, pero me parece pertinente añadirla en este y por eso la reproduzco ahora aquí].

En su usual columna del Heraldo de Miami, Andrés Oppenheimer hablaba el pasado lunes 18 de agosto sobre la concentración de la riqueza en América Latina. Proporcionaba varios datos interesantes y que definitivamente deben ser tomados en cuenta, de ellos estos dos me parecen los más importantes para propósitos de esta entrada:

Que los individuos más acaudalados de América Latina incrementaron su fortuna en 20.6% durante los últimos tres años.

Que la riqueza total de los millonarios latinoamericanos (definidos como las personas con más de un millón de dólares en ahorros líquidos, excluyendo bienes coleccionables y residencias primarias) en el período comprendido de 2005 a 2007 se incrementó de US$420 trillones a US$620 trillones.

Yo tengo unas consideraciones en cuanto a cada uno de esos dos puntos:

¿Estamos hablando de trillones en inglés gringo o en español? La pregunta es válida porque en el inglés americano (Canadá y Estados Unidos) un billón son mil millones en español y un trillón corresponde a un billón en español.

Y esta que es mi consideración más importante: ¿realmente son esos datos dicientes en cuánto a mayor concentración de riqueza? Pienso que esos resultados pueden verse atenuados por la caída del dólar en este lado del mundo en los últimos tres años. Por ejemplo, según información del Banco Central en Colombia, al 20 de agosto de 2005 el dólar costaba CO$2309,83; a la fecha de hoy en el momento de esta entrada, tres años después, el dólar se cotiza a CO$1880.69. Es decir, el dólar ha caído 18,57%.
Lo anterior quiere decir lo siguiente: suponga que Carlos tenía hace tres años en pesos colombianos el equivalente a un millón de dólares; es decir, Carlos tenía CO$2,309,830,000 (dos mil trecientos nueve millones ochocientos treinta mil pesos colombianos). Suponga además que Carlos decidió no invertir su dinero sino ahorrarlo. Sin contar los intereses, dada la devaluación del dólar Carlos hoy sería más rico en dólares, pues al un millón de dólares al valor de hoy apenas serían CO$1,880,690,000 (mil ochocientos ochenta millones seicientos novental mil pesos colombianos). Es decir, su fortuna a hoy, convirtiendo los pesos a dólares, se habría incrementado el 22.81%. Eso, recuerde, sin contar intereses.

Obviamente esto se podría ver matizado por dos razones fundamentales:

1. Colombia es el país de la región con mayor revaluación de su moneda. Ese detalle matiza la cosa pero no anula el resultado, pues de todas maneras sí fue generalizada en la región la revaluación de las monedas locales.

2. Es probable que muchas de esas personas hayan hecho inversiones con ese millón de dólares y no tenerlo quieto como yo supuse y pudieron haber perdido. Aún así, dados los buenos momentos que se vivieron en la región es difícil pensar que una mayoría significativa perdió o dejó de ganar... por ejemplo, en caso de que Carlos hubiera ganado en pesos, eso solo querría decir que su fortuna se incrementó todavía más de ese 22.81%. Es más, si Carlos tenía justo el millón de dólares en pesos hace tres años y perdió, todavía tenía un margen amplio de perdida en este período y seguiría siendo millonario en el día de hoy: Carlos podría haber perdido hasta CO$429,140,000 (cuatrocientos veintinueve millones ciento cuarenta mil pesos colombianos) de los CO$2,309,830,000 iniciales y todavía ser considerado millonario en dólares; eso lo dejaría con CO$1,880,690,000... justo el millón de dólares hoy en día.

En fin, no sé si ese estudio tuvo en cuenta la devaluación del dólar, pero me parece que definitivamente ese factor puede ayudar a explicar en mucho el aumento de la riqueza por parte de los ricos del continente. En ese caso no se podría decir que aumentó la concentración de la riqueza, sino que los ricos simplemente ahorraron la riqueza que ya tenían.

¿Contradicción probabilística a nivel cuántico?

2008-08-20T17:46:00.004-05:00

Hace días –de hecho meses– tenía ganas de hacer esta entrada sobre las contradicciones a las que llevaría un experimento cuántico, la había demorado porque me daba pereza hacer el gráfico. Es un caso que vi en el libro Coupling, Stationarity and Regeneration (pp 27-32, Springer, 2000) de Hermann Thorisson, tal vez el libro mejor escrito en probabilidad a nivel superior que haya visto hasta ahora.

EL EXPERIMENTO

Se quiere medir la polarización de partículas (fotones) enviadas por pares por un material (calcio). Un fotón es enviado a la izquierda y el otro a la derecha; en cada dirección en que se envían los fotones se ubica un dispositivo de medición de la polarización y cada una de las mediciones se lleva a cabo cuando una partícula atraviesa el dispositivo. La polarización puede ser 1 pop -1 y depende del ángulo ortogonal a la dirección del movimiento.

0. Cuando los dispositivos de medición se alinean en la misma dirección, digamos 0 grados, la medición es la misma a ambos lados.

1. Cuando el dispositivo de la izquierda se inclina 30 grados y el de la derecha se deja en 0, las mediciones coinciden 3/4 del total de veces.

2. Cuando el dispositivo de la izquierda vuelve a 0 grados y el de la derecha se inclina a -30 grados, las medidas coinciden 3/4 del total de veces.

3. Cuando el dispositivo de la izquierda se ubica en 30 grados y el de la derecha en -30 grados, las mediciones coinciden 1/4 del total de veces.

La gráfica a continuación muestra las configuraciones anteriores: el cuadrado es el calcio, las líneas punteadas son los fotones enviados y las líneas con flechas son los dispositivos ubicados en la dirección que aparece abajo de cada uno.

LA CONTRADICCIÓN

Con base en el experimento planteado parece obvio definir el siguiente modelo: Considere un par de fotones y sea

X = “La polarización de la partícula de la izquierda en la dirección 0 grados”
II = “La polarización de la partícula de la derecha en la dirección 0 grados”.
Y = “La polarización de la partícula de la izquierda en la dirección 30 grados”.
Z = “La polarización de la partícula de la derecha en la dirección -30 grados”.

Al interpretar las frecuencias relativas como probabilidades, obtenemos:

P[X = Y]=P[X = Z] = 3/4 PPPPPP (1)

P[Y = Z] = 1/4 PPPPP (2).

Con un poco de probabilidad elemental se tiene:

P[Y = Z] ≥ P[Y = Z, X = Z]
IIIIIIIIII = P[Y = X,X = Z]
IIIIIIIIII = P[Y = X] - P[Y = X, X != Z] (léase “!=” como diferente)
IIIIIIIIII ≥ P[Y = X] - P[X != Z]
IIIIIIIIII = P[Y = X] + P[X = Z] - 1.

Es decir,

P[Y = Z] ≥ P[Y = X] + P[X = Z] - 1. PPPPP (3)

Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), obtenemos:

1/4 ≥ 3/4 + 3/4 - 1 = 2/4 = 1/2

O sea, 1/4 ≥ 1/2, una contradicción.

PROBABILIDAD EN TÉRMINOS CUÁNTICOS

La cosa, desde el punto de vista probabilístico, se pone color de hormiga porque no hay contradicción usando la probabilidad como en la física cuántica:

P[Y = X] = P[X = Z] = (cos 30)(cos 30) = 3/4,
P[Y = Z] = (cos 60)(cos 60) =1/4.

Nótese que el ángulo que se forma por las inclinaciones de los dos dispositivos es el que define el ángulo con que aquí se mide la probabilidad.

CONTRADICCIÓN SUPERADA AL NIVEL DE LA OBSERVACIÓN

Sucede que en X, Y y Z la polarización se tomó como una propiedad intrínseca de las partículas, como si existiese simultáneamente cuando no se le está midiendo, es decir, independiente del mundo macro. ¿Qué pasa si en su lugar la definimos en términos de las observaciones (las mediciones)? En ese caso desaparece la contradicción.

Dejando de lado la configuración trivial donde los dispositivos se encuentran en posición paralela, tenemos tres configuraciones de experimentos.

Consideremos la configuración 1. Sea

X1 = “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección 0 grados”.
Y1 = “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 30 grados”.

En el experimento, además de que las mediciones son iguales 3/4 de las veces, también se registró que -1 y 1 se observan en proprociones idénticas a los dos lados. Entonces si se especifica la distribución conjunta de X1 y Y1 como

P[X1 = -1, Y1 = -1] = 3/8
P[X1 = 1, Y1 = 1] = 3/8
P[X1 = -1, Y1 = 1] = 1/8
P[X1 = 1, Y1 = -1] = 1/8,

dicha distribución conjunta concuerda con las frecuencias relativas puesto que

P[Y1 = -1] = P[X1 = -1, Y1 = -1] + P[X1 = 1, Y1 = -1] (particionando Y1 en X1)
IIIIIIIIIIP = 3/8 + 1/8
IIIIIIIIIIP = 1/2

y usando el mismo razonamiento

P[X1 = -1] = P[X1 = -1, Y1 = -1] + P[X1 = -1, Y1 = 1] (particionando X1 en Y1)
IIIIIIIIIIP = 3/8 + 1/8
IIIIIIIIIIP = 1/2;

es decir, está la proporción idéntica que se acabó de mencionar. Y además, claramente,

P[X1 = Y1] = P[X1 = -1, Y1 = -1] + P[X1 = 1, Y1 = 1]
IIIIIIIIIIII = 3/8 + 3/8
IIIIIIIIIIII = 3/4.

Ahora consideremos la configuración 2. Sea

X2 = “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 0 grados”.
Y2 = “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección -30 grados”.

Si X2 y Y2 tienen la misma distribución conjunta que X1 y Y1, volvemos a obtener que las probabilidades concuerdan con las frecuencias relativas:

P[Y2 = -1] = P[X2 = -1] = 1/2
P[X2 = Y2] = 3/4.

Y por último, consideremos la configuración 3. Sea

Y3 = “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 30 grados”.
Z3 = “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección -30 grados ”.

Ahora las medidas concuerdan solo 1/4 de las veces, pero todavía se registra la misma proporción de 1 y -1 a los dos lados. Si se especifica la distribución conjunta de Y3 y Z3 como

P[Y3 = -1, Z3 = -1] = 1/8
P[Y3 = 1, Z3 = 1] = 1/8
P[Y3 = -1, Z3 = 1] = 3/8
P[Y3 = 1, Z3 = -1] = 3/8,

las frecuencias relativas concuerdan con las dadas:

P[Y3 = -1] = P[Z3 = -1] = 1/2,
P[Y3 = Z3] = 1/4.

Luego a nivel de las observaciones se ha resuelto la situación. Es cuando asumimos que la polarización es una propiedad intrínseca de las partículas que caemos en contradicciones, cuando suponemos que la polarización es independiente de la observación.

¿BASTA LA PROBABILIDAD EN EL MUNDO MICRO?

La contradicción anterior parece decirnos entonces que la polarización existe solo por la interacción con el mundo macro (al ser medida). Lo anterior sugiere que la realidad no existe más allá de las observaciones si es que el problema no radica en la probabilidad como la conocemos.

Y es en esa condición final donde surgen las escuelas de pensamiento: Hay quienes dicen que la probabilidad clásica, la de los axiomas de Kolmogorov, se queda corta. Sugieren que debería remplazarse por la probabilidad cuántica, de axiomas más generales que los de Kolmogorov. Algo así como la superposición de la relatividad de Einstein sobre la mecánica de Newton. Como vimos, al aplicar la probabilidad cuántica, no hay contradicciones si se supone que la polarización es una propiedad inherente a las partículas, independiente del mundo macro.

Pero, analiza Thorisson, de los axiomas de la probabilidad, solo la aditividad contable sería el axioma a cuestionar (el tercer axioma según el enlace); sin embargo, como solo hay finitos posibles resultados en el experimento, ese no parece ser el problema pues ella aplicaría sin inconvenientes. Dice Thorisson : «Puesto que de otra forma los axiomas de Kolmogorov reflejan propiedades de frecuencias relativas, es difícil tragarse el cuento de que no debieran aplicar. Y así, no sorprende que haya otros intentos por salir de la contradicción» Y culmina con lo siguiente:

Detrás del intento […] por crear un modelo hay varias suposiciones implícitas. Una de esas suposiciones es que medir la polarización en una dirección particular no afecta la polarización en las otras direcciones. En otras palabras, no se permite la interacción entre los mundos micro y macro. Permitir una interacción local no es un crimen serio contra las ideas físicas, pero resulta que se necesita una interacción no local para salir de la contradicción. No local quiere decir, por ejemplo, que la configuración experimental de la izquierda afecta la polarización de la partícula medida a la derecha. No es fácil de aceptar, pero para un einsteniano realista esto es más fácil que tener que descartar los axiomas de Kolmogorov, cosa muy cercana a negar que 2+2=4 [p. 31, énfasis en el original, traducción mía].

¿Diseño y desarrollo de censos y encuestas?

2008-08-15T19:17:00.008-05:00

Se ha presentado una discusión con la reforma al pénsum (¡otra vez!) en el Departamento de Estadística de la UN, porque se está pensando en no hacer obligatoria la materia Diseño y Desarrollo de Censos y Encuestas (¡El solo nombre ya es un saco!). A algunos ex-estudiantes les ha sonado a pecado esa consideración. Mi idea con esta entrada es defender la medida que quiere tomarse: eliminar al curso de las materias obligatorias y dejarlo solo como una materia opcional para los que estén interesados en ella. He aquí mis argumentos:

1. Hay que diferenciar entre un departamento de estadística que pertenece a una facultad de ciencias (como el de la UN) y uno asociado a otra facultad (por ejemplo el departamento de estadística de la prestigiosa University of Pennsylvania pertenece a la escuela de administración y el de Carnegie Mellon es más cercano a la facultad de ciencias sociales). Me parece que eso determina el enfoque del departamento en primera instancia. Visto así, debe reconocerse que si el departamento de la UN pertenece a una facultad de ciencias, tiene un enfoque mucho más investigativo y teórico. Eso diría el papel. Es algo que a la gente en la UN no le gusta como suena, pero es una verdad que no puede soslayarse. Implica que la implementación del conocimiento aunque es importante, está por debajo de los intereses que debieran ser naturales al departamento; primero la generación y luego la implementación del conocimiento. Tal vez en el nuevo departamento de la Santo Tomás el curso deba ser obligatorio por el enfoque de la carrera, pero no en la Nacional.

Ello implica que, aun cuando la enseñanza de la metodología es importante, al departamento no le corresponde tanto enseñar su implementación sino impulsar el desarrollo de nuevas metodologías. Téngase en cuenta que eso es parte de lo que hacen los departamentos de estadística aplicada en el mundo desde una perspectiva científica: desarrollar nuevas metodologías... por eso los bioestadísticos ganan mucho dinero. Por eso, adicionalmente, no me parece mala idea que la materia siga existiendo pero sea electiva para quienes quieran irse por ahí en el desarrollo profesional.

2. Dado el supuesto carácter científico del departamento, la enseñanza básica de metodología debe ser con el fin de aprender lo básico para permitir el desarrollo de nuevas cosas en el área (como corresponde a un departamento en una facultad de ciencias) y no tan simplemente salir a aplicar un curso, al menos no de base. No es que lo aplicado no se tenga en cuenta, sino que el énfasis esté en desarrollos científicos tanto teóricos como aplicables. La mera enseñanza de la metodología en cuanto a la metodología es restringida y es mi opinión que sería insuficiente.

3. Esto me lleva a otro punto importante que he visto al conocer a algunos estadísticos de la UN en la práctica: el conocimiento se les queda corto y parecen más egresados de una facultad de humanas que de ciencias fuertes. Si se trata solo de aprender a usar una herramienta, ¿qué pasa cuando deban innovar? En muchos casos, el profesional estadístico de la UN en el mercado laboral está limitado a la implementación y no piensa en lo que está haciendo... si de eso se trata, eso lo puede hacer cualquier profesional de cualquier carrera con un curso de regresión, análisis multivariado o metodología de investigación. Visto así, me apena ver que muchos ingenieros industriales tienen más capacidad de solución de problemas que los estadísticos... precisamente porque los segundos solo están pensando en implementar; así, cuando algo se sale del marco, se quedan varados o aplican cosas que no vienen a lugar. Eso tiene que ver más con la formación.

Ese argumento en particular es el que, a mi modo de ver, hace errada la opinión de quienes pretenden resguardar la obligatoriedad del curso: el estadístico –y el científico en general–, así solo tenga una formación básica de pregrado), debe estar en capacidad de solucionar problemas. Solo esperar a que su conocimiento dependa de un curso lo va a dejar sin herramientas en algún punto de su vida profesional. En la práctica siempre la va a faltar más conocimiento del que se le dio en toda la carrera, incluso en el postgrado. Pero un estadístico aplicado con formación científica debería estar en capacidad de aprender por sí mismo y al menos intentar desarrollar mejores metodologías, modelos, etc.

4. Hay otro argumento que se me antoja importante en cuanto a eso: yo no he necesitado el diseño de encuestas para nada. Claro, mi orientación es más matemática que estadística por la probabilidad, pero eso muestra precisamente que el departamento no debe restringirse. Así como yo me fui por la línea de probabilidad habrá quien quiera irse por la línea de muestreo o mercadeo y para esas personas la materia sería importantísima. Para mí o para un estadístico matemático ese curso es casi una maldición porque nos aleja de nuestros intereses particulares.

Si esa es la posición, yo diría que debiera ser obligatorio el curso básico de Procesos Estocásticos para que los estadísticos al menos se enteraran de qué es una cadena de Markov (¡la mayoría no lo saben!), eso podría ser muy útil en la práctica en el área de procesos, un área muy cercana a la investigación de operaciones. Pero si alguien se va por investigación de mercados, por ejemplo, ese curso no le va a servir prácticamente para nada.

Yo vi toda la línea de Análisis Matemático en el pregrado y eso me ayudó muchísimo en el postgrado porque Estadística Avanzada y Probabilidad Avanzada son materias obligatorias para todo estudiante de doctorado en estadística y, más que Análisis, requieren Teoría de Medida. Dado lo que vi, y dado que el departamento de la UN está adscrito a una facultad de ciencias, donde el interés debe ser formar científicos, me parecería más importante que al menos los cursos de Análisis Matemático fueran obligatorios... los estadísticos sufren –¡padecen!– esos dos cursos en el doctorado por falta de herramientas, pero aún así yo no me atrevería a hacerlo obligatorio.

Entonces las conclusión es que Diseño y Desarrollo de Censos y Encuestas debe seguir existiendo en el pénsum de la carrera, pero como electiva, no debe ser materia obligatoria.

El porcentaje de la probabilidad

2008-08-02T09:32:00.008-05:00

Mi persona no sabe de dónde salió la idea de que la probabilidad es un porcentaje. Mi persona cree que las personas que confunden probabilidades con porcentajes realmente no han entendido qué es una probabilidad y qué es una proporción. Mi persona intentará explicar la diferencia en esta entrada.

Lo primero que mi persona aclara es que la probabilidad es una medida de la incertidumbre mientras los porcentajes son proporciones. Hay casos en que las dos coinciden (como en el caso de eventos equiprobables) pero hay otros en los que no. La probabilidad es mucho más que una proporción aunque en algunas ocasiones esa sea una interpretación adecuada.

Veamos primero un caso en el que coinciden: Supongamos que mi persona sabe que en una urna con 10 balotas dentro de ella, el 60% de las balotas es azul y el 40% es rojo... mi persona es hincha de Millonarios y sabe que hay más azules que rojos siempre (mi persona se está imaginando a sus inteligentes lectores haciendo la rápida conversión: «Aaah, hay 6 balotas azules y 4 rojas». Mi persona felicita a sus inteligentes lectores). Entonces la probabilidad de extraer una balota azul es 0.6 y en este caso la probabilidad es idéntica a la proporción.

Pero suponga otro caso en que mi persona tiene una moneda no honesta, digamos con probabilidad de cara 0.7 y de sello 0.3. Entonces el porcentaje de cara con respecto al total de eventos (2) sigue siendo 1/2 o 0.5 –lo mismo sucede con sello–, pero una cosa es esa proporción respecto al total de eventos y otra la probabilidad de cara o sello, 0.7 y 0.3 por definición. Como hay dos eventos posibles en un lanzamiento de moneda, la proporción sobre el total es 0.5, pero la probabilidad de cada uno de ellos varía en cada caso.

Por otro lado a mi persona le parece que decir «la probabilidad del evento A es 50%» es además un horroroso error gramatical, puede verse como redundancia (como si estuviera hablando mi persona) o como revolver peras con manzanas. P'además, al mencionar un porcentaje debe decirse con relación a qué se está tomando. Así si a vusté le dicen que la probabilidad del evento es 50% es como si a mi persona le dijeran «el valor del carro es 50%»... pero ¿50% de qué?, debe existir un marco de referencia que no se está dando. ¿50% de otro evento B? Entonces mi persona debe saber cuál es la probabilidad del evento B para calcular la probabilidad de A como la mitad del evento B. ¿50% de nada? Entonces mi persona interpretaría nada como el vacío matemático, un evento que tiene axiomáticamente probabilidad nula. ¿50% de todo? Esa es más complicada porque siguiendo el anterior orden de ideas mi persona podría pensar que todo es el universo, el espacio muestral, en cuyo caso la probabilidad de todo es uno y la probabilidad del 50% de todo sería 1/2 (mi persona cree que eso es lo que quieren decir con esa frase); pero todo también puede interpretarse como el infinito y en ese caso la mitad de todo sigue siendo infinito porque la mitad del infinito es infinita... en cuyo caso la probabilidad del 50% de todo pues igual sería 1 (en un espacio de probabilidad apropiado).

Pero además, se pregunta mi persona, ¿qué pasa cuando dicen por ejemplo «el 50% de la probabilidad del evento A»? Pues en ese caso no se refieren sus personas a la probabilidad del evento A sino a la mitad de la probabilidad del evento A... y eso es distinto.

Por eso mi persona para terminar esta entrada aconseja dos cosas:

1. Su persona debería expresar la probabilidad como un número entre 0 y 1, sin referencia a porcentajes porque, como mi persona con esta entrada, termina confundiendo a todo el mundo. Mi persona leyó en alguna parte que Aristóteles decía: el mal uso de las palabras daña el espíritu y corrompe el alma.

2. Mi persona no aconseja decir mi persona porque se lee y se oye horroroso... es tan feo como si su persona dijera «el porcentaje de la probabilidad es...»... y todos sabemos que a su persona jamás se le ocurriría hablar tan feo.

1 Workshop on Stochastic Modeling

2008-07-26T09:14:00.006-05:00

En pocos días se llevará a cabo en Ouro Preto, Minas Gerais, Brasil, la XII Escuela Brasileña de Probabilidad. No había hecho ninguna entrada antes al respecto a la espera de poder estar allá para la fecha, pero no se va a poder. Una tristeza porque la Escuela de Probabilidad es fácilmente el evento probabilístico anual más importante en toda América Latina (los CLAPEM, Congresos Latinoamericanos de Probabilidad y Estadística Matemática, son muy importantes pero mezclan probabilidad y estadística y ocurren cada dos o tres años).

En el que sí espero poder estar es en el 1 Workshop in Stochastic Modeling en Ribeirão Preto, otro campus de la Universidad de São Paulo. Ese workshop es mucho más conveniente para mis intereses particulares de investigación. Van a estar varios personajes importantes para mí y amigos cercanos que no veo hace un buen tiempo como Ernesto Mordecki, uruguayo, la persona a quien le debo estar estudiando en la USP gracias a sus sabios consejos en el CLAPEM de 2004 en Punta del Este.

Pero además van a estar importantes investigadores en temas de percolación como Rahul Roy, autor del único libro en percolación continua; Mikhail Menshikov, quien probó la equivalencia de los puntos críticos en el modelo booleano de percolación continua y en percolación discreta; Luiz Renato Fontes, uno de esos nombres grandes en el IME-USP, que estará hablando sobre percolación bootstrap; Heinrich Matzinger, quien trabaja en escenarios aleatorios; y mi orientador Serguei Popov que estará hablando sobre caminatas aleatorias en medios aleatorios, junto con su esposa Marina Vachkovskaia que hablará sobre la investigación en billares aleatorios que ha venido desarrollando junto a Popov y otros.

También estarán jóvenes figuras de la probabilidad en América Latina como Christian Coletti (argentino), Florencia Leonardi (Argentina) y Mauricio Zuluaga (Colombia), todos ex-estudiantes del IME y profesores en universidades de Brasil.

Sin duda, vale la pena estar allá. No me cansaré de decir que Brasil es tremendo foco en el desarrollo de la probabilidad y ha jugado un papel importantísimo en el desarrollo de ella para toda la región.

¿Cuál es más probable?

2008-07-06T20:48:00.002-05:00

En la anterior entrada interesante de este blog presentaba el famoso problema del cumpleaños, cuya respuesta puede ser un poco contraintuitiva. Hay quienes llaman a este problema del cumpleaños paradoja pero yo no lo considero así, el resultado simplemente es algo desconcertante pero no veo una situación de paradoja. En mi concepción personal –y puedo estar errado– una paradoja es una situación en la que se pueden presentar varias respuestas aparentemente verdaderas. Ya habrá tiempo para discutir algunas de ellas en este blog.

En esta entrada quiero discutir otro evento donde se presenta una situación similar a la anterior:

Un mazo de 52 cartas se revuelve y las cartas se voltean una a la vez hasta cuando aparezca el primer as. ¿Es más probable que la siguiente carta después del primer as sea un as de picas o un dos de diamantes?

Aunque intuitivamente la mayoría estaríamos inclinados a pensar que es más probable el dos de bastos (al fin y al cabo, dice la intuición, el primer as en salir podría ser el de picas), vamos a mostrar que la probabilidad es la misma en los dos casos.

Lo primero que necesitamos saber es cuántos de los posibles órdenes tienen al as de espadas inmediatamente después del primer as. Para esto suponga primero que la baraja que contiene todas las cartas menos el as de espadas se ordena de todas las formas posibles , entonces el total de formas distintas de organizar el mazo es . Una vez se tienen cada uno de esos posibles órdenes, nótese que solo hay un lugar donde puede ir el as de espadas para satisfacer nuestro caso: debajo del primer as en la baraja. Es decir, el total de casos son . Luego la probabilidad de que el as de espadas esté después del primer as es

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que la carta siguiente al primer as sea el dos de diamantes? Si se utiliza el argumento anterior, se llegará a la conclusión de que es exactamente la misma: . Como en la baraja hay exactamente 52 cartas, sin contar los comodines (hay 4 pintas de 13 cartas cada una), este resultado nos dice que la probabilidad de cualquier carta después del primer as es la misma. Por ejemplo, la probabilidad de que la carta siguiente al primer as sea 4 de tréboles es igual a la probabilidad de que la primera carta extraída al azar sea el 4 de tréboles; es decir, en los dos casos la distribución de probabilidad es uniforme.

VII Escola do CBPF

2008-06-08T11:57:00.004-05:00

El Centro Brasileño de Investigaciones Físicas (CPPF por sus siglas en portugués). llevará a cabo la séptima versión de su escuela durante los días 14 a 21 de junio de 2008 en Rio de Janeiro. Resulta pertinente para este blog pues muchos de esos cursos manejarán perspectivas desde la mecánica estadística y la probabilidad.

Por ejemplo, aunque hay muchos otros, uno de los cursos que más me interesó se llama «Procesos estocásticos y aplicaciones a la termodinámica de los agujeros negros», los temas a tratar en ese curso son los siguientes:

Formalismo de integrales de trayectoria: Condición KMS.
Teoría de campos a temperatura finita
Funcional generador y expansión en loops.
La expansión del acoplamiento fuerte y la teoría de campos en cero dimensiones.
El oscilador anarmónico en el regimen de acoplamiento fuerte.
La cuantización estocástica de Parisi-Wu
La extensión de Kruskal del espacio-tiempo de Schwarzschild y la teoría cuántica de campos en espacios curvos.
Cuantización estocástica em espacios curvos y el límite de Bekenstein generalizado.

Muy interesante, valdría la pena ir. Toda la información pertinente se encuentra en el enlace provisto en la parte superior.

El problema del cumpleaños

2008-05-12T13:18:00.005-05:00

En mi lista de amigos de facebook tengo 162 amigos de los cuales 4 cumplen años el próximo miércoles, pasado mañana. ¿Sorprendente? Aunque puede parecerlo a simple vista, un argumento probabilístico muy simple mostrará que no lo es tanto. Vamos a responder la siguiente pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo día en un grupo de n personas si cada persona tiene la misma probabilidad de cumplir en cualquier día del año (1/365)?

Sea la probabilidad de que en un grupo de n personas, no haya dos que cumplan el mismo día. Entonces la primera persona puede cumplir en cualquiera de los 365 días del año (365/365). La segunda persona puede cumplir en cualquier día, excepto el día en que cumplió la primera persona . El tercero puede cumplir cualquier día del año, excepto en los dos días en que cumplieron las dos primeras . Y así sucesivamente hasta el n-ésimo que puede cumplir en cualquier día excepto en los n-1 días en los que ya han cumplido las otras personas: . Es decir,

Si definimos , entonces podemos entender ese n! como la cantidad de permutaciones de n elementos. O sea, la cantidad de formas diferentes en que se pueden organizar n elementos. Entonces . Y note además que

Con esas consideraciones, podemos reescribir como sigue:

Esa es la probabilidad que estábamos buscando.

Pero el caso curioso no está ahí. La razón por la cual el resultado es interesante es la siguiente: suponga que n=23. Entonces obtenemos que la probabilidad de que al menos dos personas, entre esas 23, cumplan el mismo día es:

Es decir, la probabilidad de que en un grupo de 23 personas al menos dos cumplan el mismo día es mayor que la probabilidad de obtener cara en un lanzamiento de una moneda honesta.

La v al final de su apellido

2008-05-07T14:49:00.008-05:00

Con mis amigos del Instituto de Matemáticas y Estadística en la Universidad de São Paulo (IME-USP) siempre hacíamos bromas entre nosotros por no tener apellido de teorema: éramos Rodríguez, Pachón, Lima. Y yo, Díaz, ¡menos!

Recuerdo de hace algunos años cuando estaba estudiando el libro básico (pero muy bueno), A First Course in Probability de Sheldon Ross, que uno de los capítulos se llama Limit Theorems... yo le escribí abajo del original mi propio título: El capítulo ruso. ¡Casi todos los resultados están bautizados con el apellido de algún genio ruso que probó por primera vez el resultado! Es impresionante.

Vamos despacio y veámoslo con calma:

Kolmogorov (foto): Uno de los más grandes, sin duda alguna, estableció los fundamentos de la probabilidad, probó las famosas leyes 0-1 y el teorema de extensión que lleva su nombre, entre muchas otras cosas. Fácilmente, Kolmogorov podría ser el más grande de los matemáticos rusos en toda la historia.
Markov: Creador del que tal vez es el proceso estocástico más importante, las famosas cadenas de Markov, además mostró uno de los primeros resultados en teoremas límite: la también famosa desigualdad de Markov.
Chebyshev: Fue quien probó la desigualdad que lleva su nombre.
Liapunov: Estudió las funciones que llevan su nombre, útiles para determinar importantes propiedades en recurrencias de cadenas de Markov. Además fue el primero en hacer una demostración rigurosa estricta del teorema del límite central, uno de los resultados más importantes en probabilidad por sus múltiples aplicaciones, sobre todo en estadística.
Menshikov: El abuelo. Tal vez el más importante de los resultados obtenidos hasta ahora por él es el de la igualdad de los puntos críticos en los modelos de percolación.
Popov: El gran jefe. Mi orientador. Una de las mentes más brillantes que conozco (si no la más brillante). Ha demostrado y trabajado en las áreas de probabilidad que ha querido y parece que obtuviera resultados al respirar. Yuval Peres, uno de los más grandes probabilistas vivos me dijo en un correo privado que le parecía brillante; sucede que Popov resolvió de forma rápida una pregunta abierta planteada por Peres en un seminario presentado en el IME (pregunta en la que además estoy trabajando mi tesis de doctorado). Es común oír entre los estudiantes de probabilidad del IME que probablemente Popov se transforme en el mejor probabilista que haya pasado por Brasil... y eso no es poca cosa teniendo en cuenta que Brasil tiene en este momeno una de las escuelas de probabilidad más importantes del mundo.

En fin, hay muchos probabilistas rusos y probablemente la probabilidad le debe más a la escuela rusa que a cualquier otra. Pero quise hacer una muestra de aquellos cuyos apellidos terminan por la letra v porque ese detalle me llamó la atención desde el principio de mi formación como probabilista.

Siempre he pensado que, además de estudiar mucho, si quiero entrar a la historia de la probabilidad con un teorema importante me va a tocar cambiar mi nombre. Así será más probable que la historia me recuerde por el teorema de Danielev :-).

La importancia de las matemáticas

2008-04-29T23:36:00.004-05:00

Al oír los comentarios y leer los razonamientos de profesionales que nunca en su vida han estudiado matemáticas, hace mucho tiempo concluí que hacer obligatorios al menos los tres cursos básicos de cálculo –para todas las carreras– estaría dentro de las mejores cosas a ocurrir en nuestros sistemas educativos.

Después de muchos años pensándolo concluí que quizás eso no era necesario; pero tal vez si lo sean al menos dos cursos. A) Un curso de fundamentos matemáticos: en él se aprende cuáles son las formas de razonamientos lógicos y cómo concluir con decencia algo a partir de una premisa. B) Un curso de programación: el desarrollo de los programas típicos de un curso introductorio permite estructurar secuencias de instrucciones lógicas que lleven a un fin.

Y es que, sinceramente, sí da pesar hablar con muchos profesionales con capacidades argumentativas que rayan el ridículo. Voy a citar tres ejemplos.

Hace ya varias semanas, tuve el placer de hablar con una persona que estudió dirección y producción de cine y televisión; en un agrandamiento que solo es típico cuando brota de una ignorancia devota y cuidadosamente cultivada, aquel profesional opinaba que ni los ingenieros ni los economistas debían ver matemáticas pues eso no les servía para nada. Yo, en una actitud socialmente aceptable, logré contener mis palabras mientras pensaba «te hizo falta si quiera una clase»... al fin y al cabo, si algo se aprende rápido en las matemáticas es a no concluir toda sarta de estupideces a partir de pocas premisas. No voy a entrar en los detalles de por qué un ingeniero o un economista necesita saber matemáticas, me parece hasta grotesco pensar en la apreciación de aquel personaje.

Segundo. Se me viene a la mente la discusión que tuvo John D. Barrow, físico experto en cosmología y profesor de la Universidad de Cambridge, con Richard Dawkins, biólogo experto en darwinismo (aunque parece experto en mercadeo) y profesor de la Universidad de Oxford. Cuando Dawkins le cuestionaba a Barrow el origen del universo por el Big Bang, y tras numerosas explicaciones del físico, este último se cansó y le dijo «Richard, no podrías entenderlo porque tú no eres científico, eres biólogo». Es curioso, el matemático de Princeton David Berlinski también opina que Dawkins parece idiota.

Y para terminar, tengo otro ejemplo que fue el inspirador de esta entrada; una columna de opinión de hoy escrita por Hernando Pabón (no sé quién es él, pero se menciona que es experto en agricultura) publicada en El Tiempo:

La Colombia agropecuaria está en una situación que no deja de ser extremadamente paradójica. Por un lado, los actores del agromercado pueden vender sus productos, tanto local como para el mercado internacional, a muy buenos precios y, por otro lado, sus materias primas suben logarítmicamente los costos.

Aparentemente, por el contexto, Pabón cree que el crecimiento logarítmico en los costos es muy malo. Creo yo que Pabón quería decir otra cosa, no era logarítmico el adjetivo que pensaba usar. Yéndome al extremo opuesto diría que más bien quería decir exponencial. No creo que su error sea malintencionado... pero sí revela la ignorancia matemática. Dicho de forma más matemática: si las ventas de mi negocio son de orden mayor al logarítmico, digamos lineal, sinceramente no me preocupa si mis costos tienen crecimiento de orden logarítmico... mejor que eso, prácticamente lo «único» que existe es la estabilidad en los precios o el decrecimiento de ellos, pero lo segundo casi no pasa y lo primero prácticamente se alcanza al poco tiempo con el orden logarítmico.

En fin... la moraleja es que la matemática es muy necesaria. Demasiado, no nos podemos dar el lujo de no contar con ella... ¡los ejemplos anteriores lo explican tan claro!

Measure theoretical probability tutorial

2008-04-21T00:17:00.006-05:00

Surfing the Internet, looking for something in probability, I found this tutorial: a measure theoretical approach easy to work through. The tutorial is divided by chapters, the explanations are simple and almost all the proofs are left to the student, but they are easily induced given the way the text is constructed.

Apparently, the idea of the author was to introduce a complete tutorial in probability topics, including other aspects –not only the formal theory, but maybe he was absorbed by other projects.

I have not seen the complete material but what I read seems to be well written. Enjoy it!

Ranking of Statistics Departments in USA

2008-04-18T15:19:00.008-05:00

As many of my friends know, I'm a follower of rankings, prizes and awards. I like to follow the data to see (heuristically) current trends in academy, particularly in the fields of math, probability and statistics. Well, this link provides information about the current USNews ranking of Statistics departments in USA. Let me expand it here:

1. Stanford University (Stanford, CA).
1. University of California -Berkeley (Berkeley, CA).
3. University of North Carolina -Chapel Hill (Chapel Hill, NC).
4. Harvard University (Boston, MA).
5. Iowa State University (Ames, IA).
6. Duke University (Durham, NC).
6. University of Chicago (Chicago, IL).
6. University of Washington (Seattle, WA).
9. University of Florida (Gainesville, FL).
10. Princeton University (Princeton, NJ).
10. Purdue University (West Lafayette, IN).
10. University of Michigan -Ann Arbor (Ann Arbor, MI).
10. University of Wisconsin -Madison (Madison, WI).

Sincerely, to me the credibility of this study is undermined since there is no department of Statistics at Princeton. At best, they have a program in Applied Math and a program in Operations Research, but still no program of Statistics. Now, Princeton is an outstanding university when it comes to math related fields, but it's difficult to think that research in the area is better here than in other departments where there are complete groups advancing multiple areas of statistics –Cornell, for instance.

Anyway, that's the ranking for the top ten Statistics Departments in USA. If you are thinking about doing some research or in pursuing graduate education in the US, then it would be good for you to review these programs. Don't restrict yourself to those on the list but give them a serious consideration.

Cuarta escuela de verano de Cornell en probabilidad

2008-04-10T20:18:00.006-05:00

Por el correo interno de la universidad llegó hoy a mí la información de la cuarta escuela de verano de probabilidad en Cornell. Cornell, además de ser una de las más famosas universidades del mundo y de formar parte del selecto grupo de universidades Ivy League, es muy reconocida por ser punta de lanza en probabilidad. De hecho, su grupo en el área es muy prestigioso; en el pasado hicieron parte de él nombres tan grandes como Feller, Kac, Ito y Lawler (quien desarrolló junto con Oded Schramm y Wendelin Werner el trabajo que le valió la medalla Fields al último hace dos años) y en el presente figuran nombres de la talla de Dynkin y Kesten, entre muchos otros.

Según la página de la escuela, el tema central serán los problemas probabilísticos que surgen en la ecología. La mejor parte: aparentemente hay fondos para ayudar con la estadía y pasajes de quienes soliciten la ayuda.

Introducción a las asignaciones estables de Poisson y Lebesgue

2008-02-17T16:45:00.007-05:00

La gráfica ilustra un modelo en un espacio bidimensional en el cual los centros se escogen aleatoriamente en el plano y cada centro tiene un apetito, un área que busca «comerse». Es una simulación de asignaciones (funciones matemáticas que cumplen ciertas propiedades) cuando los centros se escogen aleatoriamente, mediante un proceso de Poisson, y quieren «comerse» un volumen determinado del espacio. La cantidad de volumen que cada centro come se mide mediante una medida de Lebesgue. Se denomina territorio la cantidad de espacio que cada centro se come. Intuitivamente, puede describirse el modelo así: cada centro quiere comer las porciones más cercanas a él que no hayan sido comidas por otro centro en el espacio y un centro para de comer cuando ocurra una de dos cosas:

El centro satisfizo su apetito.
El centro no satisfizo su apetito pero no hay más volumen del espacio para comer pues «todo» el espacio ya fue comido por los otros centros.

Puede verse también intuitivamente que si los centros tienen «poco» apetito, habrá muchos lugares en el plano que no serán reclamados por ningún centro.

Suponga ahora que cualquier lugar a del plano pertenece al territorio de un centro A, pero a está más cerca de otro centro B que de A, si eso ocurre decimos que el punto a desea a B. El lugar a también va a desear al centro B si a no fue reclamada por ningún centro.

Ahora suponga que el centro B dentro de su territorio tiene un punto b que está más lejos de él que a pero a no hace parte del territorio de B. Entonces decimos que B codicia a a. Si B no satisfizo su apetito y el lugar a no pertenece a su territorio también decimos que B codicia a a.

Finalmente decimos que si a desea a B y B codicia a a entonces el par (a, B) no es estable. Si la función de asignación no tiene ningún par inestable, decimos que la asignación es estable.

Puede demostrarse que existe una función de asignaciones estables utilizando el algoritmo de Gale-Shapley para matrimonios estables, pero describir ese argumento será tema de otra entrada.

Nota final: la gráfica ilustra el caso bidimensional pero el modelo y su teoría se trabajan para cualquier dimensión, incluso cuando el número de dimensiones tiende a infinito.

Wendelin Werner en el IMPA de Rio de Janeiro

2008-02-17T08:40:00.005-05:00

La Escuela de Altos Estudios de la Capes (Coordinación de perfeccionamiento de personal de nivel superior) a realizarse en el IMPA en Rio de Janeiro tiene como invitado al probabilista Wendelin Werner, quien estará dictando el curso Conformant Invariant Models. Como preparación para el curso el profesor Vladas Sidoravicious (investigador titular del IMPA), enseñará el curso previo de Percolación Crítica. Aparte del curso habrán monitorías y preparación dirigidas por Pierre Nolin y Christophe Gorban (Ecole Normale Superior), quienes abordarán los temas de Teorema de de Funciones de Riemman y otros pre-requisitos importantes.

Wendelin Werner (foto), no es ni más ni menos que el último ganador de la medalla Fields (el premio Nóbel de la matemática pero se entrega solamente una vez cada 4 años a investigadores menores de 40 años) por su trabajo conjunto con los probabilistas Greg Lawler (Universidad de Chicago) y Oded Schramm (Microsoft Research), precisamente en el tema en el que va a dictar su curso.

Por si fuera poco, hay ayuda económica para los estudiantes de postgrado que quieran participar y para investigadores jóvenes.

LaTeX en Blogger y en Facebook

2008-01-31T10:33:00.000-05:00

Hace poco descubrí una herramienta que está muy cerca de ser la panacea en este maravilloso mundo de la web 2.0: ¡podemos subir fórmulas matemáticas, con toda la elegancia de LaTeX, a Facebook y a Blogger! Vamos por partes:

Facebook: Busque la aplicación "Mathematical Formulas (LaTeX)" e instálela. Así podrá escribir en su wall las fórmulas matemáticas.

Blogger: En este vínculo tiene toda la información que necesita para poder hacerlo. Yo ya lo hice y a continuación le presento un ejemplo de, digamos, la desigualdad de Jensen:

Se ve bien, ¿no?

Entrada inicial

2008-01-29T02:54:00.001-05:00

Con la primera entrada de este blog quiero dejar claro cuál va a ser el propósito: hablar sobre ciencia en general, particularmente sobre matemáticas y aun más particularmente sobre probabilidad (área en la cual soy aprendiz).

Intentaré hacer que los temas tratados estén al alcance del público culto en general, aunque no necesariamente lego en probabilidad u otras áreas de la ciencia. Sin embargo, mentiría si dijera que todas las entradas serán de este tipo, pues unas cuantas requerirán un nivel de abstracción más alto que la mera divulgación.

Hablar sobre ciencia es algo que me atrae mucho; soy lector devorador de textos divulgativos y formales en el campo científico, pero también me gusta escribir. Este parece ser el momento adecuado de empezar a plasmar mis opiniones como aprendiz para que ellas salgan del amorfismo y se tornen en conceptos más claros. Todo un experimento interesante.

En lo personal, una de las principales motivaciones al crear este blog es escribir sobre las asignaciones estables de Poisson y Lebesgue, el modelo probabilístico en el cual estoy trabajando para mi investigación doctoral. La idea de presentar aquí conceptos aterrizados me ayudará a comprender mejor muchos de ellos al tiempo que intento hacerlos comprensibles para el lector. Si bien mi investigación lleva ya más de un año y he logrado algunos avances, me atrae esta idea de escribir sobre el modelo en cuestión.

¡Que sus paseos aleatorios por internet sean recurrentes: que lo traigan rápidamente de vuelta por acá!